Sinusna funkcija
Do sada ste već naučili specifične vrednosti sinusa, kosinusa i tangensa određenih uglova. U matematici, često možemo dosta naučiti posmatrajući kako se jedna veličina menja u odnosu na drugu. Posmatraćemo sinus kao funkciju ugla. Setite se od ranije da je sinus ugla u standardnom položaju odnos y/r, gde je y odgovarajuća koordinata tačke na krugu, a r rastojanje te tačke od koordinatnog početka.
Pošto je sinus isti za dati ugao, bez obzira na dužinu poluprečnika r, možemo koristiti jedinični krug kao osnovu za sva računanja.
Imenilac razlomka je sada 1, pa imamo jednostavniji izraz, sin θ = y. Prednost ovoga je što možemo koristiti y-koordinatu tačke na jediničnom krugu da bi pratili vrednost sin θ kroz kompletnu rotaciju. Zamislite da počnemo od 0 i onda rotiramo u smeru suprotnom od kazaljke na satu i povećavamo ugao. S obzirom da je y-koordinata tačke vrednost sinusa ugla, posmatraćemo visinu dok rotiramo.
Kroz prvi kvadrant ta visina postaje veća, počevši od 0, brzo se povećavajući na početku, onda sporije dok ugao ne dostigne 90◦, u tom trenutku, visina je maksimalna, 1.
Kako se rotira kroz drugi kvadrant, visina počinje da opada ka nuli.
Dok rotacija prolazi kroz treći i četvrti kvadrant, dužina duži se povećava, ali ovog puta u negativnom smeru, spuštajući se do -1 u 270◦ i vraćajući se do nule u 360◦.
Posle jedne kompletne rotacije, iako se ugao i dalje povećava, vrednosti sinusa će se ponavljati. Isto bi se desilo da smo rotirali u smeru kazaljke na satu da bi proverili negativne uglove, pa je zato sinusna funkcija periodična. Period je 2π, jer se posle tog ugla vrednosti ponavljaju.
Prevedimo ovo rotaciono kretanje u grafik sinusa u funkciji ugla rotacije. Sledeća animacija demonstrira ovu vezu. Ona ucrtava (θ, sin θ) u koordinatni sistem kao (x, y).
Nakon što završimo jednu punu rotaciju, vrednosti počinju da se ponavljaju. Zato se sinusoida, ili “talas”, takođe ponavlja. Najlakši način da skicirate sinusoidu je da ucrtate tačke za uglove četvrtine kruga. Vrednost funkcije sin θ ide od 0 do 1 pa do 0 pa do -1 i nazad do 0. Nacrtano duž x-ose, to bi izgledalo ovako:
Popunjavanjem linije između tačaka i nastavljanje grafika preko 2π kao i negativnih uglova dobijamo grafik funkcije y = sin x gde je x proizvoljni ugao rotacije, u radijanima.
Kao što smo već pomenuli, sin x ima period od 2π. Trebalo bi takođe napomenuti da y-vrednosti nikada ne prelaze 1 niti padaju ispod -1, pa je kodomen sinusne funkcije [-1, 1]. Pošto uglovi mogu uzimati proizvoljne vrednosti i rotacija se može nastaviti beskonačno, pa je domen sin x skup svih realnih brojeva.